Astronomie et Systèmes Dynamiques

Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides,
Observatoire de Paris, UMR 8028 du CNRS

Séminaires 2012

Alain Albouy - Alain Chenciner - Jacques Laskar

 

L'application de Brake à Syzygie dans le problème des trois corps dans le plan à moment cinétique nul

Andrea Venturelli (Université d'Avignon)

Salle André Danjon, le Jeudi 3 Novembre 2011 à 14h30

résumé : On considère le problème des trois corps dans le plan, on fixe une valeur d'énergie négative et le moment cinétique à zéro. Une syzygie est une configuration où les trois corps sont colinéaires. D'après un résultat de R. Montgomery, toute solution ayant une énergie négative et un moment cinétique nul a une infinité de syzygies. Par conséquent, si on part (à vitesse nulle) d'une configuration sur le bord de la région de Hill, la solution (brake) correspondante aura une syzygie à un instant donné. On définit de cette manière une application que l'on appelle 'application de brake à syzygie'. Dans l'exposé on donnera quelques propriétés intéressantes de cette application, et on insistera en particulier sur la continuité et sur l'image de cette application. Si le temps le permet, on montrera aussi l'existence d'une orbite périodique brake (avec deux collisions par période). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Rick Moeckel et Richard Montgomery.

Stabilité superexponentielle générique des tores invariants dans les systèmes hamiltoniens

Laurent Niederman (ASD, IMCCE)

Salle André Danjon, le Jeudi 5 janvier 2012 à 14h30

résumé : Morbidelli et Giorgilli ont montré un résultat de stabilité en temps superexponentiellement long si l'on considère un système hamiltonien possédant un tore invariant non résonant avec une torsion de signe définie (ce qui correspond à de la convexité). Plus précisément, les solutions du système varient peu sur des temps superexponentiels longs par rapport à l'inverse de la distance au tore invariant. On généralise ici cette propriété à un ensemble générique de systèmes hamiltoniens possédant un tore invariant non résonant. La preuve comporte deux étapes : la construction d'une forme normale de Birkhoff à un degré élevé puis l'application de la théorie de Nekhoroshev. Bounemoura a montré que la deuxième étape de cette construction reste possible si la forme normale de Birkhoff associée au tore invariant appartient à un ensemble générique parmi les séries formelles. Ceci ne suffit pas pour démontrer ce type de résultat de stabilité superexponentielle dans un cadre général. Il faut aussi établir que la plupart des systèmes hamiltoniens possédant un tore invariant non résonant admettent une forme normale dans l'ensemble introduit par Bounemoura. On montre ici que cette propriété est vérifié génériquement au sens de la mesure (prévalence) grâce à des méthodes similaires à celles développées dans un article de Kaloshin et Hunt (Ann Maths, 165).

 

Renseignements : 01 40 51 20 31 et 01 40 51 21 26

 

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